1. 德布罗意波
1.1 德布罗意波的提出
自爱因斯坦关系式：后，德布罗意提出了新的看法：爱因斯坦解决的是在光的方面我们过分注重波动性而忽略了粒子性，那在实物粒子（一般指电子）上，我们是否过分注重粒子性而忽略了波动性呢？于是他提出：。虽然形式上就是爱因斯坦关系式的改写，但物理意义却截然不同！
在德布罗意提出这个观点后，大家可能觉得还是对，就做实验验证，只需要证明电子的波动性就是了，那就做一些波动性实验呗，所以几年之后有了著名的戴维孙-革末，电子双缝衍射等著名实验，无疑证实了这种猜想。
1.2 物质波的提出
但是如何解释电子的波动性呢？以衍射为例，明纹的地方代表电子多，或者说电子出现的概率大，暗纹的地方电子少，代表电子出现的概率低。可见：电子在某个地方出现的概率和波的衍射强弱成正比。物质波不是说粒子以波的形式运动，而是说粒子在各处出现的概率服从波的规律，物质波是概率波！
1.3 波函数
结合波动方程：， 复函数形式为：代入德布罗意提出的频率和波长可得一维自由粒子！！ 一维自由粒子！！ 一维自由粒子！！ 一维自由粒子！！：，这里的为约化普朗克常量。因为我们已经分析了电子出现的概率和波的强度成正比，实物粒子波的强度用波函数取模来表示，即，考虑到你的空间越大，粒子出现的概率越大，如果全空间来看，概率就是1，所以概率看来还与研究的体积有关，即，除以dV即得到单位体积内的概率，即概率密度：:在某个位置附近单位体积内粒子出现的概率！
因为是概率密度函数，所以满足：
1. 波函数的标准化条件：连续，单值， 有限。
2. 归一化条件。。
2. 不确定关系
。
取最简单的简谐波，波长一定，即不确定度为0，但是它无限延伸，即x方向不确定度为无穷。
取一个峰或一条很紧密的线，位置一定，即位置不确定度为0，但傅里叶展开后这个东西可以有无限多个正弦构成，λ不确定度无穷，即动量不确定度无穷。
注意：在动量和位置不确定度时，如果右边取h且取等号确实有, 但如果知道波长变化，切不可以用，二者没有这样的关系，只有微分关系：，最后那里取了绝对值，因为关心正负，只关心范围。
3. 薛定谔方程
薛定谔给出了波函数应当满足的方程，其中包含周围势函数V（即粒子不自由），且势函数也是个位置，时间的函数。如果势函数不随时间变化，则可以得到定态薛定谔方程，表示粒子概率不随时间改变而改变的情况，这样的情况叫定态。考虑一维即满足：。
4. 一维无限深势阱下的粒子
此时势函数V满足在0--a内为0，在其余地方为∞，故叫无限深势阱。解这个定态薛定谔方程，令，应用连续，归一化解出：，故概率密度函数注意到
我们得到。
5. 势垒贯穿（隧道效应）
现实世界中，一个人可以跳10m，那么面对一堵20m的墙，几乎跳不过去，但在微观世界，这样的事情有概率发生！